निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{1+\sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{1+\sin x} \quad \dots (1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \, dx}{1+\sin(\pi-x)} = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi-x}{1+\sin x} \, dx \quad \dots (2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi} \frac{x + \pi - x}{1+\sin x} \, dx = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\sin x} \, dx$
अंश और हर को $(1-\sin x)$ से गुणा करने पर:
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x} \, dx = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} \, dx$
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} (\sec^2 x - \sec x \tan x) \, dx$
पदों का समाकलन करने पर:
$2I = \pi [\tan x - \sec x]_{0}^{\pi}$
$2I = \pi [(\tan \pi - \sec \pi) - (\tan 0 - \sec 0)]$
$2I = \pi [(0 - (-1)) - (0 - 1)] = \pi [1 + 1] = 2\pi$
अतः,$I = \pi$.